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雑談掲示板

むうどめえかあ　〜雑談と創作つぶやき〜
日時： 2024/12/20 19:36
名前： むう （ID: vj1xV3Jk）

　こんにちは、こんばんは、むうと申します。
　よろしくお願いします。へへへ（どした）

　【自己紹介】>>279
　―－－－－－－－－－－－－－
　【あてんしょん】
　①作者がおかしいのではありません。夜なのが悪いのです(おい)
　②読むのも大好きですので、ぜひぜひ自作品を宣伝してください。
　③カキコのルールに従って、楽しく！　やりましょう(^▽^)/
　④主は低浮上です。が、来たらお話します。
⑤主はメンタルお豆腐（メンタル疾患持ち）です。優しくお願いします。
　
　【いんふぉめーしょん】
〈カキコでの作品〉

　～二次創作(紙ほか版)～

　●鬼滅の刃　会話文短編集
　●「鬼滅×花子くん　短編集続編　六人の軌跡」
　●ろくきせ恋愛手帖
　　3作品あわせて、『ろくきせシリーズ』です。

　～コメディ・ライト版～
　
　●カオスヘッドな僕ら
　●プラネット・ホットライン
　●憑きもん！～こんな日常疲れます！～

　

　
　新たな出会いがありましたら幸いです！
　


　―－－－－－－－－－－－－

　【目次的な】
事故紹介>>01　カクヨムの名前>>19 弟>>58　ぼかろぴー>>55 おしらせ>>86
受賞と皆さんへ>>107　外の世界が怖かった話>>158 ふつうとは>>167
弁論大会>>216 生きてます>>227 話しかけて>>243 自己紹介テンプレ>>276
ジャンプ？>>306 ポケモン、にわかだぜ！>>322 裸族>>323 夢を捨てる>>387
入院>>397


　【創作ログ】
　>>10 >>112>>117>>146>>215>>230

〈来てくれた皆様〉
　・優羽さん　・二二さん ・ぷれさん ・謎の女剣士さん　・ベリーさん
　・Thimさん　・イナさん　・ぴえんさん ・ねむねむさん ・日影＠hikage
　・ほのみんさん　・黒猫夜空さん　・キャラメル・キャットさん　
　・優優さん　・叶汰さん　・東雲琥珀さん　・鏡花さん ・まろんさん
　・むぅにゃあさん　・馬鮭さん ・アマゾンさん　・とーまさん
　・ひゅぷのすさん ・みぃみぃさん　・上條まりなさん

　【今週のイラスト】
リンちゃん描きました❤︎

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Re: むうどめえかあ　〜元カキコ民は仲間になりたい〜　( No.66 )
日時： 2023/01/03 08:35
名前： 〓〓 （ID: G3cfJyzM）

1+1=2の証明～！(コピペ)

０．記号の説明
n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。

１．自然数の体系
まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：
(P1) s：N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。

これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
[12]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
２．帰納的定義の原理
以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。

【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：
（１） f(0)=x
（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))

（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。

この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。

３．自然数の加法
定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。

【定理２】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。

（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）

任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって
① m+0=m
② m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
③ 0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
④ s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち

【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。

（証明）上記①から④によるが、少々長くなるので文献におまかせ。

[13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
４．「１＋１＝２」の証明
上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、
（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。

さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、①②によって
⑤ s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。

ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。
s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば⑤より
s(1)=1+1
∴ 2=1+1 （証明終）

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